材料力学公式总结

截面的几何性质

  • 静矩
    • $S=\int_A dA$
  • 形心
    • $y_c=\int_A y dA$
  • 惯性矩
    • $I_z = \int_A y dA $
    • 圆形截面
      • $I_z = \frac{\pi d^4}{64}$
    • 矩形截面
      • $I_z = \frac{bh^3}{12}$
    • 薄壁圆筒
      • $I_z = \frac{\pi d^4}{64}(1-\alpha^4)$
  • 极惯性矩
    • $I_p = \int_A \rho^2 dA$
    • 圆形截面
      • $I_\rho = \frac{\pi d^4}{32}$
    • 矩形截面
      • $I_\rho = \frac{bh^3}{6}$
    • 薄壁圆筒
      • $I_\rho =2\pi R_0^3\delta$
  • 平行轴定理
    • $I_z = I_{z0} + Ab^2$

拉压

  • 正应力
    • $\sigma = \frac{F}{A}$
    • 圆形截面
      • $\sigma =\frac{4F}{\pi d^2}=\frac{1.27F}{d^2}$
  • 胡克定律
    • $\epsilon = \frac{\sigma}{E}$

剪切

  • 剪应力
    • $\sigma = F/A$

扭转

  • 剪应力
    • $\tau = \frac{M_e y}{I_p}$
    • 圆形截面
      • $\tau = \frac{16M_e}{\pi d^3} = \frac{5.09Me}{d^3}$
    • 空心圆截面
      • $\tau = \frac{16M_e}{\pi d^3}(1- \alpha^4)$
    • 薄壁圆筒
      • $\tau = \frac{Me}{2 \pi R_0 \delta}$

弯曲

  • 正应力
    • $\sigma = \frac{My}{I_z}$
    • 圆形截面
      • $\sigma = \frac{32M}{\pi d^3} = \frac{10.18M}{d^3}$
    • 矩形截面
      • $\sigma = \frac{6M}{bh^2}$
    • 空心圆圆筒
      • $\sigma = \frac{32M}{\pi d^3}(1-\alpha^4)$

应力和应变分析

  • 薄壁圆筒
    • 轴向
      • $\sigma’ = \frac{pd}{4\delta}$
    • 周向
      • $\sigma’’ = \frac{pd}{2\delta}$
    • 径向
      • $\sigma = 0$
  • 斜截面应力分析
    • 二维
      • 解析法
        • $\sigma = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\cos 2\alpha - \tau_{xy}\sin 2\alpha$
        • $\tau = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\sin 2\alpha + \frac{\tau_{xy}}{2}\cos2\alpha$
        • $\alpha$
        • $\tan2\alpha = \frac{2\tau}{\sigma_x - \sigma_y}$
      • 图解法
        • $(\sigma_0 - \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2})^2 + \tau_0^2 = \frac{(\sigma_x -\sigma_y)^2}{4} + \tau_{xy}^2 = R$
    • 三维
  • 广义胡克定律

强度理论

  • 第一强度理论
    • $\sigma_1 \leq [\sigma]$
  • 第二强度理论
    • $\sigma_1 - u(\sigma_2 + \sigma_3) \leq [\sigma]$
  • 第三强度理论
    • $\sigma_1 - \sigma_3 = \sqrt{\sigma^2 + 4\tau^2} \leq [\sigma]$
  • 第四强度理论
    • $\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_1 - \sigma2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 -\sigma_1)^2]} \leq [\sigma]$

组合变形